Probabilidade
(Aula Quatro)
Probabilidade
(Aula Quatro)
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Luiz Bertolo
Introdução:
Como a loteria é montada de modo que ela faça receita para o estado? Há alguma maneira do estado poder perder dinheiro num jogo? A teoria da probabilidade fornece uma maneira de se achar e expressar nossa incerteza nas tomadas de decisões sobre uma população a partir da informação da amostra A probabilidade é um número entre 0 e 1. O maior valor de qualquer probabilidade é 1. A probabilidade reflete a frequência relativa do resultado. Uma probabilidade é expressa como um número decimal, tal como 0.7 ou como uma fração, tal como 7/10, ou como
porcentagem, tal como 70%.
Abordagem das Probabilidades Determinadas:
Existem três abordagens das probabilidades determinadas, como segue:
1. Abordagem Clássica:
A Probabilidade Clássica Probabilidade está baseada na hipótese de que os resultados de um experimento são igualmente prováveis de acontecerem. A Probabilidade Clássica utiliza regras e leis. ela envolve um experimento. A seguinte equação é usada para atribuir probabilidade clássica:
P(X) = Número de resultados favoráveis / Número total dos resultados possíveis
Note que podemos aplicar a probabilidade clássica quando os eventos tem a mesma chance de ocorrência (chamados de eventos equiprováveis), e o conjunto dos eventos são mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo.
2. Abordagem da Frequência Relativa:
A Probabilidade Relativa está baseada nos dados históricos acumulados. A seguinte equação é usada para determinar este tipo de Probabilidade:
P(X) = Número de vezes que um evento ocorreu no passado/ Número total de oportunidades para o evento ocorrer
Note que a probabilidade relativa não está baseada em regras ou leis mas naquilo que ocorreu no passado. Por exemplo, sua companhia quer decidir com que probabilidade seus inspetores rejeitarão o próximo lote de matéria prima de um fornecedor. Os dados colhidos nos registros de sua companhia mostram que o fornecedor enviou para sua companhia 80 lotes no passado, e os inspetores rejeitaram 15 deles. Pelo método da Probabilidade Relativa, a probabilidade dos inspetores rejeitarem o próximo lote é 15/80, or 0.19. Se o próximo lote for rejeitado, a probabilidade relativa para um carregamento subsequente variará para 16/81 = 0.20.
3. Abordagem Subjetiva:
A probabilidade subjetiva é baseada no julgamento pessoal , acúmulo de conhecimento, e experiência. Por exemplo, médicos algumas vezes atribuem probabilidades subjetivas à expectativa de vida para pessoas com câncer. Previsão do tempo é um outro exemplo de probabilidades subjetivas.
Experimento:
Experimento é uma atividade que ou se observa ou se mede, tal como o arremesso de uma moeda, ou
tirar uma carta de um baralho.
Evento (Resultado):
Um evento é um resultado possível de um experimento. Por exemplo, se o experimento é de uma amostra de seis lâmpadas provenientes de uma linha de produção, um evento poderia ser obter uma com defeito e cinco boas.
Eventos Elementares:
Eventos elementares são aqueles tipos de eventos que não podem ser desdobrados em outros eventos. Por exemplo, suponha que o experimento seja lançar um dado. Os eventos elementares para este experimento são para este lançamento o 1 ou o 2, e assim por diante, i.e., existem seis eventos elementares (1, 2, 3, 4, 5, 6). Note que obter um número par é um evento, mas não é um evento elementar, porque o número par pode ser desdobrado em outros eventos 2, 4, e 6. |
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Espaço Amostral:
Um espaço amostral é um conjunto completo de todos os eventos de um experimento. O espaço amostral para o lançamaento de um simples dado é 1, 2, 3, 4, 5, e 6. O espaço amostral do experimento de arremesso de uma moeda três vezes é:
Primeiro lançamento.........T T T T H H H H; |
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O espaço amostral pode ajudar a encontrar as probabilidades. Entretanto, usar o espaço amostral para expressar probabilidades é difícil quando o espaço amostral é grande. Daí então, geralmente usamos outras abordagens para se determinar a probabilidade.
Uniões & Intersecções:
Um elemento qualifica-se pela união de X, Y se ele estiver ou em X ou em Y ou em ambos X
e Y. Por exemplo, se X=(2, 8, 14, 18) e Y=(4, 6, 8, 10, 12), então a união de (X,Y)=(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18).
A palavra chave indicando a união de dois ou mais eventos é ou.
Um elemento qualifica-se pela intersecção de X,Y se ela estiver em ambos X e Y.
Por exemplo, se X=(2, 8, 14, 18) e Y=(4, 6, 8, 10, 12), então a intersecção de
(X,Y)=8. A palavra chave para indicar a intersecção de dois ou mais eventos é e. Ver as figuras seguintes:
Eventos Mutuamente Exclusivos:
Aqueles eventos que não podem ocorrer juntos são chamados de eventos mutuamente excludentes. Por exemplo, no arremesso de uma única moeda, os eventos cara e coroa são mutuamente excludentes. A probabilidade de dois eventos mutuamente excludentes ocorrendo ano mesmo tempo é zero. Veja a figura seguinte:
Eventos Independentes:
Dois ou mais eventos são chamados eventos independentes quando a ocorrência ou não ocorrência de um dos eventos não afeta a ocorrência ou a não ocorrência dos outros. Então, quando dois eventos são independentes, a probabilidade de se atingir o segundo evento é a mesma a despeito do resultado do primeiro evento. Por exemplo, a probabilidade de obter coroa é sempre 0.5, a despeito do que se obteve anteriormente. Note que nestes tipos de experimentos, os eventos são independentes se a amostragem for feita com reposição.
Eventos Coletivamente Exaustivos:
Uma lista de eventos coletivamente exaustivos contém todos os eventos elementares possíveis para um experimento. Por exemplo, para o experimento de arremesso de um dado, o conjunto de eventos consiste de 1,
2, 3, 4, 5, e 6. O conjunto é coletivamente exaustivo porque ele inclui todos resultados possíveis. Assim, todos espaços amostrais são coletivamente exaustivos.
Eventos Complementares:
O complemento de um evento tal como A consiste de todos eventos não inclusos em A. Por exemplo, se no lançamento de um dado, o evento é obter um número ímpar, o complemento de A é obter um número par. Assim, o complemento do evento A contém sempre a porção doo espaço amostral que o evento A não contém. Veja a figura seguinte:
Tipos de Probabilidade:
Três tipos de probabilidades são discutidos nesta nota de aula:
1. Probabilidade Marginal:
Uma probabilidade marginal é geralmente calculada dividindo-se algum subtotal pelo todo. Por exemplo, a probabilidade de uma pessoa usar óculos é calculada dividindo-se o número de pessoas que usam óculos pelo número total de pessoas. A Probabilidade Marginal é denotada por P(X), onde X é algum evento.
2. Probabilidade da União:
Um probabilidade de união é denotada por P(X ou Y), onde X e Y são dois eventos. P(X ou Y) é a probabilidade que X ocorrerá ou que Y ocorrerá ou que ambos X e Y ocorrerão.
A probabilidade de uma pessoa usar óculos ou ter cabelos loiros é um exemplo de probabilidade de união. Todas as pessoas que usam óculos estão incluídas na união, juntamente com todos loiros e todas as pessoas loiras que usam óculos.
3. Probabilidade da Intersecção:
Uma probabilidade da intersecção é denotada por P(X e Y). Para tornar-se eleito para uma probabilidade da intersecção, ambos eventos X e Y devem ocorrer. A probabilidade que uma pessoa seja loira e use óculos é um exemplo de probabilidade da intersecção.
Probabilidade Condicional:
Um probabilidade condicional é denotada por P(X|Y). Esta frase é lida: a probabilidade que X ocorrerá dado que Y é sabido ter ocorrido. Um exemplo de probabilidade condicional é a probabilidade que uma pessoa use óculos dado que ela seja loira.
Métodos para Usar na Solução de Problemas de Probabilidades:
Existe um número infinito de maneiras pelas quais pode ser usadas na solução de problemas de probabilidade.
Estes métodos incluem os três diagramas, leis de probabilidade, espaço amostral, insight, e tabela de contingência. Devido a individualidade e variedade de problemas de probabilidade, algumas abordagens aplicam-se mais facilmente em certos casos do que outras. Não existe melhor método para resolver todos os problemas de probabilidades.
As três leis de probabilidade são discutidas nesta nota de aula: a lei da adição, a lei da multiplicação, e a lei condicional.
1. A Lei da Adição:
A. Regra Geral da Adição:
quando dois ou mais eventos acontecerem ao mesmo tempo, e os eventos não forem
mutuamente excludentes, então:
P(X ou Y) = P(X) + P(Y) - P(X e Y)
Por exemplo, qual é a probabilidade de uma carta escolhida ao acaso de um baralho seja um rei ou copas?
| P(Rei ou Copas) = P(X ou Y) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 30,77% |
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B. Regra Especial da Adição:
quando dois ou mais eventos aconterem ao mesmo tempo, e os eventos forem mutuamente excludentes, então:
P(X ou Y) = P(X) + P(Y)
Por exemplo, suponha que temos uma máquina que insere uma mistura de feijão, brócolis e outros tipos de vegetais uma saco plástico. A maioria dos sacos plásticos contém o peso correto, mas devido a ligeira variação no tamanho dos feijões e outros vegetais, um pacote poderá estar ligeiramente mais ou menos pesado. Uma verificação dos muitos pacotes no passado indicaram que:
Peso.................Evento............No. de Pacotes...................Probabilidade
Menos pesado..........X........................100..........................0.025
Peso correto.............Y.......................3600.........................0.9
Mais pesado........... .Z.........................300..........................0.075
Total..................................................4000..........................1.00
Qua é a probabilidade de selecionar um pacote aleatoriamente e ser o pacote menos pesado ou mais pesado? Como os eventos são mutuamente exclusivos, um pacote não pode ser menos pesado ou mais pesado ao mesmo tempo. A resposta é: P(X ou Z) = P(0,025 + 0,075) = 0,1
2. A Lei da Multiplicação:
A. Regra Geral da Multiplicação:
quando dois ou mais eventos acontecerem ao mesmo tempo, e os eventos forem dependentes,
então a regra geral da multiplicação é usada para se encontrar a probabilidade da intersecção:
P(X e Y) = P(X) . P(Y|X)
Por exemplo, suponha que temos 10 bolas de gude numa sacola, e 3 são defeituosas. Duas bolas são selecionadas, uma após a outra sem reposição. Qual é a probabilidade de se selecionar uma bola com defeito seguida por outra com defeito?
A probabilidade de que a primeira bola selecionada seja defeituosa: P(X)=3/10
A probabilidade de que a segunda bola selecionada seja defeituosa: P(Y)=2/9
P(X e Y) = (3/10) . (2/9) = 7%
Isto significa que se este experimento for repetido 100 vezes, em 7 experimentos resultarão em bolas defeituosas na primeira e na segunda seleção. Um outro exemplo é selecionar uma carta de um baralho e encontrar a probabilidade que a carta seja um 8 de espada. P(8 e espada) = (4/52) . (1/4) = 1/52 a qual é = P(espada e 8) = (13/52) . (1/13) = 1/52.
B. Regra Especial da Multiplicação:
quando dois ou mais eventos acontecerem ao mesmo tempo, e os eventos forem independentes, então a regra especial da lei de multiplicação é usada para encontrar a probabilidade da intersecção:
P(X e Y) = P(X) . P(Y)
Se duas moedas forem arremessadas, qual a probabilidade de se obter cara na primeira moeda e cara na segunda moeda?
P(Ca e Ca) = (1/2) . (1/2) = 1/4 = 25%. Isto poode ser mostrado listando todos os possíveis resultados: Ca Ca, ou Ca Co, ou Co Ca, ou Co Co. Jogos de chance em casinos, tal como roleta e jogos de dados, consistem de eventos independentes A próxima ocorrência no dado ou disco não deverá ter nada com o que já aconteceu.
3. A Lei Condicional:
Probabilidades condicional estão baseadas no conhecimento de uma das variáveis. A probabilidade condicional de um evento, tal como X, ocorrendo dado que um outro evento, tal como Y, tenha ocorrido é expresso como:
P(X|Y) = P(X e Y) / P(Y) = {P(X) . P(Y|X)} / P(Y)
Note que quando se usa a lei condicional de probabilidade, você sempre divide a probabilidade da intersecção pela probabilidade doo evento após a palavra dado que. Assim, para obter o P(X dado que Y), você divide a probabilidade da intersecção de X e Y pela probabilidade não condicional de Y. Em outras palavras, a equação acima é usada para se encontrar a probabilidade condicional para quaisquer dois eventos dependentes. Quando dois eventos, tais como X e Y, são independentes sua probabilidade condicional é calculada como segue:
P(X|Y) = P(X) e P(Y|X) = P(Y)
Por exemplo, uma faculdade tem 350 alunos matriculados nos seus cursos. Destes, 150 são homens e 200 são mulheres; 220 cursam inglês e 130 cursam matemática.A distribuição dos alunos é a seguinte:
| Disciplina/Sexo | Inglês |
Matemática |
Total |
|---|---|---|---|
| H | 120 |
30 |
150 |
| M | 100 |
100 |
200 |
| Total | 220 |
130 |
350 |
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando matemática, dado que seja mulher?
Temos que:
Pelo quadro vemos que temos 100 mulheres cursam matemática num total de 200 mulheres, isto é, cursando matemática dado que seja mulher é 100 entre 200, ou seja,
P(Ma|Mu) = (100/200) = (1/2) = 50%.
4. Teorema de Bayes:
Digamos que conhecemos as P(Ai) de todas as partições Ai do nossso espaço amostral. Ainda, a probabilidade de um evento X, P(X), é dada pelo Teorema da Probabilidade Total:
Esta expressão nos dá a probabilidade do evento X, ou seja P(X), conhecidos a probabilidade da partição Ai e a probabilidade condicional (X|Ai).
Poderemos agora querer inverso, isto é, P(Ai|X)! Isto é, qual a probabilidade de ocorrer Ai dado que tenha ocorrido o evento X. Esta última probabilidade é encontrada pelo Teorema de Bayes:
Por exemplo, se uma única carta for selecionada aleatoriamente de um baralho, qual é a probabilidade de que a carta seja rei dado que ela seja um naipe?
| P(rei dado que seja naipe) = P (X|Y) = [P(X) .P(Y|X)] / P(Y) P(rei) = P(X) = 4/52, e P(naipe dado que seja rei)= P(Y|X) = 1/4, então P(rei dado que seja naipe) = P(X|Y) = (4/52)(1/4) / (13/52) = 1/13 |
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Note que este exemplo pode ser resolvido conceitualmente sem o uso de equações. Desde que é dado que a carta seja de um naipe, há somente 13 cartas em cada naipe no baralho. Das 13 cartas do naipe, somente 1 é rei. Então P(rei dado naipe) = 1/13.
Para entender melhor e praticar o Teorema de Bayes, clique aqui. Apresentamos também uma planilha Excel para os cálculos envolvidos no Teorema de Bayes. Lembre de entrar com dados apenas nas células em azul. As demais células são calculas automaticamente.
Regra da Combinação:
A equação de combinação é usada para se encontrar o número de possíveis arranjos quando existir somente um grupo de objetos e quando a ordem de escolha não for importante. Em outras palavras, combinações são usadas para resumir todas as maneiras possíveis de como os resultados poderão ocorrer sem listar as possibilidades manualmente. A equação de combinação é como segue:
C = n! / x! (n - x) ! e 0<= x <="n"
onde: n = número total de objetos, x= número de objetos a ser usado numa vez, C = número de maneiras que o objeto pode ser arranjado, e ! indica fatorial. Note que: 0! = 1, e 3! significa 3x2x1.
Por exemplo, suponha que 4% de todas as TVs feitas por X&Y Company em 2011 são defeituosas. Se oito destas TVs forem selecionadas aleatoriamente pelo país e testadas, qual é a probabilidade que exatamente três delas são defeituosas? Assuma que cada TV seja feita independentemente das outras.
Usando a equação de combinação para numerar todos os resultados possíveis:
C = 8!/ 3! (8-3)! = (8x7x6x5!)/ {(3x2x1)(5!) = 336/6 = 56
que significa que existem 56 maneiras diferentes de se obter três defeitos de um total de oito TVs. Assumindo D como uma TV defeituosa e B como uma TV boa, um modo de se obter três defeitos seria: P (D1 e D2 e D3 e B1 e B2 e B3 e B4 e B5). Como as TVs são feitas independentemente, a probabilidade de se obter as primeiras três defeituosas e as cinco últimas boas é:
(,04)(,04)(,04)(,96)(,96)(,96)(,96)(,96)=0,0000052
que é a probabilidade de se obter três defeitos na ordem acima. Agora, multiplicando as 56 maneiras pela probabilidade de se obter uma destas maneiras dá: (56)(0,0000052)=0,03%, que é a resposta para extrair oito TVs e obter exatamente três defeituosas.
A aula número cinco contém um procedimento mais detalhado para trabalhar estes tipos de problemas na discussão da Distribuição Binomial.
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