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6. Controle e Monitoramento de Produto ou Processo
6.4. Introdução à Analise de Séries Temporais
6.4.3. O que é Suavização Exponencial?

6.4.3.1.

Suavização exponencial Simples
A suavização exponencial simples pondera as observações passadas com pesos decrescentes exponencialmente para previsão de valores futuros Este esquema de suavização começa definido S2 para y1, onde Si representa a observação suavizada ou EWMA, e y representa a observação original. Os subscritos se referem aos períodos de tempo, 1, 2, ..., n. Para o terceiro período, S3 = alpha y2 + (1-alpha) S2; e assim por diante. Não há S1; a série suavizada inicia com a versão suavizada da segunda observação.

Para qualquer período de tempo t, o valor suavizado St é encontrado calculando

S(t) = alpha*y(t-1) + (1-alpha)*S(t-1), 0 < alpha <= 1, t >= 3
Esta é a equação básica da suavização exponencial e a constante ou parâmetro alpha é chamado de constante de suavização.

Nota: Existe uma abordagem alternativa para suavização exponencial que troca yt-1 na equação básica com yt, a observação atual. Esta formulação, devida a Roberts (1959), é descrita na seção sobre Gráficos de controle EWMA. A formulação aqui segue Hunter (1986).

Definindo o primeiro EWMA
A primeira previsão é muito importante O EWMA inicial faz um importante papel no cálculo de todos os EWMA's subsequentes. Definindo S2 como y1 é um método de inicialização. Outra maneira é defini-lo como alvo do processo.

Ainda outra possibilidade seria fazer a média das quatro ou cinco primeiras observações.

Pode ser mostrado que o menor valor de alpha, o mais importante é a seleção do EWMA inicial. O usuário deveria ser orientado para tentar uns poucos métodos, (assumindo que o software está disponibilizado) antes da finalização das definições.

Por que é chamada "Exponencial"?
Expandindo a equação básica Vamos expandir a equação básica primiero substituindo St-1 na equação básica para obter

St = alpha yt-1 + (1-alpha) [ alpha yt-2 + (1-alpha) St-2 ]
   = alpha yt-1 + alpha (1-alpha) yt-2 + (1-alpha)2 St-2
Fórmula de somatório para a equação básica Substituindo por St-2, depois então por St-3, e assim por diante, até atingirmos S2 (que é exatamente y1), pode ser mostrado que a equação expandida pode ser escrita como:

S(t) = alpha*SUM[i=0 to t-2][(1-alpha)**(i-1)*y(t-1)] + (1-alpha)**(t-2)*S(2), t >= 2
Equação expandida para S5 POr exemplo, a equação expandida para o valor suavizado S5 é:

S(5) = alpha*[(1-alpha)**0*y(5-1) + (1-alpha)**1*y(5-2) + (1-alpha)**2*y(5-3)] + (1 - alpha)**3*S(2)

Ilustação do comportamento exponencial Isto ilustra o comportamento exponencial. Os pesos, alpha (1-alpha) t decrescem geométricamente, e sua soma é a unidade como mostrado abaixo, usando uma propriedade das séries geométricas:
alpha*SUM[i=0 to t-1](1-alph)**i = alpha*[(1 - (1-alpha)**t)/(1 - (1-alpha))] = 1 - (1-alpha)**t
Da última fórmula podemos ver que o somatório mostra que a contribuição aos valores suavizados St torna-se menor a cada período consecutivo.
Exemplo para alpha = .3 Seja alpha = .3. Observe que os pesos alpha (1-alpha) t  decrescem exponencialmente (geometricamente) com o tempo.

  Valor peso
último y1 .2100
  y2 .1470
  y3 .1029
  y4 .0720
Qual é o "melhor" valor para alpha?
Como escolher o parâmetro peso? A rapidez em que as respostas mais antigas são amortecidas (suavizadas) é uma função do valor de alpha. Quando alpha estiver próximo de 1, o amortecimento é rápido e quando alpha estiver próximo de 0, amortece lentamente. Isto está ilustrado na tabela abaixo:

    ---------------> observações passada em diante

alpha (1-alpha) (1-alpha) 2 (1-alpha) 3 (1-alpha) 4
.9 .1 .01 .001 .0001
.5 .5 .25 .125 .0625
.1 .9 .81 .729 .6561

Escolhemos o melhor valor para alpha de modo que o valor resulta no menor MSE.

Exemplo Vamos ilustrar este princípio com um exemplo. Considere o seguinte conjunto de dados consistindo de 12 observações tomadas durante o tempo:


Time 		yt S (alpha=.1) Erro Erro
quadrático
1 71      
2 70 71 -1.00 1.00
3 69 70.9 -1.90 3.61
4 68 70.71 -2.71 7.34
5 64 70.44 -6.44 41.47
6 65 69.80 -4.80 23.04
7 72 69.32 2.68 7.18
8 78 69.58 8.42 70.90
9 75 70.43 4.57 20.88
10 75 70.88 4.12 16.97
11 75 71.29 3.71 13.76
12 70 71.67 -1.67 2.79

A soma dos erros quadráticos (SSE) = 208.94. A média dos erros quadráticos (MSE) é o SSE /11 = 19.0.

Calcular os valores diferentes de alpha O MSE foi novamente calculado para alpha = .5 e voltar a ser 16.29, então neste caso preferiríamos um alpha de .5. Poderíamos melhorar? Poderíamos aplicar o método comprovado de tentativa e erro. Este é um procedimento iterativo iniciando com um intervalo de alpha entre .1 e .9. Determinamos a melhor escolha inicial para alpha e depois então procurar entre alpha - delta and alpha + delta. Poderemos repetir isto talvez uma vez mais e encontrar o melhor alpha para 3 casa decimais.
Otimizadores não lineares podem ser usados Mas existem melhores métodos de procura, tais como o procedimento de Marquardt. Este é um otimizador não linear que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. Em geral, a maioria dos softwares estatísticos bem projetados deveriam ser capazes de encontrar o valor de alpha que minimiza o MSE.
Amostra gráfica mostrando dados suavizados para 2 valores de alpha Gráfico com dados brutos e dados suavizados para alpha = .1 e alpha = .5
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